出題内容・配点・試験時間

配点・試験時間

	配点	試験時間
理科数学	120点	150分

出題内容

大問	出題内容
第1問	微分法、積分法
第2問	数列、整数
第3問	図形と方程式、微分法
第4問	微分法、積分法
第5問	積分法
第6問	確率

出題概要・分析

全体

2021年度と同様に確保しやすい小問があることは救いですが、全体的な難易度は、2020年以降続く厳しい試験が踏襲されています。

大きなトピックとして2017年以来5年ぶりに確率が出題されています。しかも、その構造が分かれば少ない計算できれいに求めることができる超良問で、感動的でさえあります。ただし最後の大問であることや、その問題文が長くおどろおどろしいこともあり、試験時間内に解ききるのは難しいと思われます。

同じく問題文が長文である大問3は、状況の分析・計算ともに難しくはなく、こちらはしっかりと得点できると思われます。

大問1

定積分を含む関数の最小値を求める問題で、導関数、定積分の計算にいくつかポイントがありますが、東大受験生ならば絶対に落とせない問題です。

大問2

2項間漸化式で定まる数列の2022番目の項と8091番目の項の2乗の最大公約数を求める問題です。(1)から(3)の小問に分かれていますが、この誘導が絶妙なヒントとなっています。数列の余りに周期性があること、漸化式から数列の項の値が単調に増加することを用います。

大問3

正方形の中でいくつかの指定された点から「十分離れている」部分の面積の最小値を求める問題です。問題文は長いですが難しいところはなく、大問１に引き続き正解したい問題です。「十分離れていない」部分に注目すると解きやすくなります。

大問4

3次関数のグラフCと相異なる3点で交わる直線の問題です。一見すると典型問題に見え、かつ図を描けば当たり前に思えることですが、(1)からしっかりとした論証力が必要となります。(2)は、曲線Cと直線で囲まれる二つの部分の面積が等しくなる条件をどう処理するかがポイントでしょう。積分を実行するとやや大変ですが、これぐらいの計算はやりきる力は身につけたいです。

大問5

線分が回転してできる傘型の曲面Sの点と、xy平面上の点を結んでできる線分の長さが２であるものからできる立体Kの体積を求める問題です。立体Kが回転体であることを見抜くことが第一歩で、その後は定石通りz軸に垂直な平面で切断したときの断面に注目します。易しい問題ではありませんが、東大では頻出の分野であることもあり、正解して差をつけたい問題といえます。

大問6

コインを投げ表が出れば三つのうち一つの方向に動き、裏が出ればその位置から動かないというルールで点を決めていきますが、動く方向を三つのうちから一つ選ぶ方法は、それまでに出た裏の回数で決まるという確率の問題です。三つの方向に動く回数がそれぞれ等しくなくてはいけないことと、裏が出る回数を並べておき、その前後と間に表の出る回数を入れていくことに気づくことがポイントとなります。